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 probabilité:cours

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كاتب الموضوعرسالة
ziani
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مُساهمةموضوع: probabilité:cours   الأربعاء يناير 05, 2011 11:00 am

Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience.
Si je jette un dé non truqué, la probabilité d'obtenir un 6 est de
Si je lance ce même dé, qu'une tierce personne me cache le résultat et me dit « j'ai vu que le résultat est pair », la probabilité de l'événement « avoir un 6 » change. Je sais que les issues possibles se réduisent maintenant aux nombres 2, 4, 6. La probabilité d'obtenir un 6 devient donc On dit que la probabilité d'obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est de
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
On considère une expérience aléatoire et deux événements quelconques de probabilités non nulles, A et B.
• Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les issues possibles se réduisent à celles qui réalisent A ;
– les issues qui réalisent B se réduisent à celles qui réalisent à la fois A et B.
• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B), est alors
Or : On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante :

• On retrouve sur les probabilités conditionnelles les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
;
.
2. Comment passer de PA (B) à PB (A) ?
Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît PA (B) et on veut trouver soit , soit PB (A).
Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
On a : d'où .
Mais on a aussi : d'où .
Et comme , on obtient : .
Ce qui nous donne au final :
3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
• Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.
On doit donc avoir : PA (B) = P(B).
C'est-à-dire
A et B sont donc indépendants si et seulement si :
.
• Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
et B sont indépendants ;
et sont indépendants ;
A et sont indépendants.
• La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :
– dans certains cas, on dit : il est évident que A et B sont indépendants donc . Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;
– dans d'autres cas, on dit : , donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?
Remarque
Attention à ne pas confondre :
– A et B incompatibles (c'est-à-dire : ) ;
– A et B indépendants (c'est-à-dire :
4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
La formule des probabilités totales repose sur l'existence d'une partition.
• Les événements A1, A2, ..., An, réalisent une partition si : l'ensemble des issues ;
pour .
• Ayant une partition , on considère un événement B quelconque. On peut écrire que les issues qui réalisent B se divisent en celles qui appartiennent à , celles qui appartiennent à et celles qui appartiennent à An.
C'est-à-dire que .
• D'où la première expression de la formule des probabilités totales :
Et comme , on a la deuxième expression de la formule des probabilités totales :
Cas particulier
Dans la plupart des cas, on considère la partition élémentaire .
On a alors pour un événement B quelconque :
;
;

La probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé, est appelée probabilité conditionnelle. Elle est définie par :
• Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si :

• À partir d'une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.

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benabbes
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مُساهمةموضوع: رد: probabilité:cours   الأربعاء يناير 05, 2011 5:27 pm

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ziani
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مُساهمةموضوع: رد: probabilité:cours   الأربعاء يناير 05, 2011 7:07 pm

شكرررررررررررررررررررا على مرورك

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benabbes
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مُساهمةموضوع: رد: probabilité:cours   الجمعة يناير 07, 2011 9:01 am

هذا واجبي

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