équation déffirentielle:cour

[left]CHAPITRE 1
LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1-INTRODUCTION
Les équations différentielles constituent un type d’équations qui trouvent de nombreuses applications
dans la modélisation des systèmes physiques. Elles jouent un rôle fondamental dans la théorie des
systèmes asservis linéaires. C’est pourquoi, il est important de savoir établir les équations
différentielles, les résoudre et analyser leurs solutions.
1.1-DEFINITION
On appelle équation différentielle une égalité algébrique ou transcendante qui relie une fonction à
ses dérivées. L'équation est dite Equation Différentielle Ordinaire (EDO) si la fonction ne dépend que
d’une seule variable indépendante et que les dérivées sont exprimées par rapport à cette variable.
L'ordre d'une EDO est celui de l'ordre le plus élevé de la dérivée apparaissant dans l'équation.
L’exemple suivant présente une équation différentielle ou y(t) est la fonction dépendante de la
variable t; x(t) est une fonction qui est, en général, supposée connue.
dt y x
dy2 4
1.2-EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET NON LINEAIRES
Les équations différentielles peuvent être partagées en deux classes principales : les équations
différentielles linéaires et les équations différentielles non linéaires.
-Une équation différentielle est linéaire si elle est constituée d’une somme de termes linéaires en
y(t) et ses dérivées comme dans les deux exemples suivants :
Exemple 1 : dt 12.y4
dy
Exemple 2 : dt y x
d y
dt
d y
5. 12. 2 2
2
3
3
  
-Une équation différentielle non linéaire contient des termes non linéaires en y(t) et/ou en ses dérivées
Les exemples suivants représentent des équations différentielles non linéaires.
Exemple 1 : (dt )3y2
dy
Exemple 2 : dt y ex
xdy2 2
Exemple 3 : dt y x
dy2cos 
Notons que dans ce cours, on s’intéressera à particulièrement aux équations différentielles linéaires.
Par ailleurs, il faut noter également, que l’on dispose de méthodes pour résoudre analytiquement les
équations différentielles linéaires. Par contre, on ne dispose pas de méthode générale ou de théorie
générale permettant de résoudre analytiquement les équations différentielles non linéaires.
3
2-SOLUTIONS DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES PAR LA
METHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES
Les exemples étudiés vont concerner certaines équations différentielles qui seront représentatives des
systèmes couramment rencontrés. On s’intéressera principalement à l’étude des solutions des
équations différentielles du premier et du second ordre.
2.1-ETUDE DE LA SOLUTION D’UNE EQUA. DIFF DU PREMIER ORDRE
Définition Une équation différentielle linéaire (EDL) du premier ordre est une équation
différentielle qui peut s'écrire sous la forme :
a(t).y' + b(t).y = c(t) (1)
ou a(t), b(t) et c(t) sont des fonctions continues sur un intervalle I de R.
L’équation différentielle avec c(t)=0: a(t).y' + b(t).y = 0 s’appelle l'équation homogène associée
à l’EDL, ou équation sans second membre.
Solution générale de l’EDO du premier ordre
La solution générale s’obtient facilement si on connaît une solution particulière. En effet, si yo est une
solution de l’équation générale. En posant Y = y - yo, on obtient une équation de forme homogène:
a(x).Y' + b(x).Y = 0 (2)
Par séparation des variables, on peut l’écrire : Y'/Y = -b(t)/a(t)
Puis par intégration, on obtient : dt C
a t
Y   b t  ( )
ln ( )
En posant a t dt
F t b t
( )
( ) ( )
La solution est alors : Y = k.e(t) ou k est une constante arbitraire.
La solution générale s'obtient en ajoutant la solution particulière yo : y = yo + k.ef(x)
La valeur de k sera déterminée par une condition initiale: une valeur connue de y ou de y' en un point
t donné.
On peut déterminer k par la méthode de la variation de la constante.
On montre que si Y est solution de l’équation homogène et ne s'annule pas sur I, on peut chercher une
solution particulière de la forme :
y = k(x).Y(x) où k = y/Y est une fonction à déterminer. Comme k est dérivable et on a : y' = k'Y +
kY'. En reportant dans (1) on obtient :
[a(x).Y' + b(x).Y].k + a(x).k'Y = c(x)
Le terme entre crochet est nul, donc, il reste à résoudre : a(x).k'.Y = c(x)
k est alors obtenu par une simple intégration : a t e dt
k t c t F(t)
( )
( ) ( )  
Une solution particulière est donc : a t e dt
y k x Y x eF(t) c t F(t)
( )
( ). ( ) ( )    
et la solution générale cherchée est donc :  a t e dt 
y eF(t) k c t F(t)
( )
( )   
4
Remarque : si y1 et y2 sont des solutions particulières linéairement indépendantes de l'équation
complète (1), alors k(y1 - y2), où k est un nombre réel arbitraire, est la solution générale de cette
équation.
Exemple: résoudre l’équation différentielle
y' + y = et
Réponse : L’équation sans second membre Y' + Y = 0 s'écrit Y'/Y = - 1. C'est dire que Y = k.e-t.
Recherchons une solution particulière au moyen de la méthode de la variation de la constante :
Si y = k(t).e-t, alors y' = k'e-t - k.e-t , on reporte cette expression dans l’EDO, ce qui donne k' = e2t ,
soit : k(t) = e2t/2 (à une constante additive près que nous choisissons nulle, puisqu'il s'agit ici de la
recherche d'une solution particulière). Une solution particulière de l’EDO est donc yo = et/2 et la
solution générale est Y + y0 soit : y t Y y k e t 2.et
( ) . 1   0  
2.2-ETUDE DE LA SOLUTION D’UNE EQUTION DU SECOND ORDRE :
Les fonctions a(t), b(t), c(t) et d(t) étant continues sur un intervalle I de R, l'équation différentielle
linéaire du second ordre reliant y, y' et y" s'écrit sous la forme :
a(t).y" + b(t).y' + c(t).y = d(t) , t I (3)
Soit yo une solution de (3). En posant Y = y - yo, on obtient :
a(t).Y" + b(t).Y' + c(t).Y = 0 , t I (4)
qui est une équation sans second membre ou équation homogène dont le second membre est nul. On
montre
que l'ensemble des solutions de (4) constitue un espace vectoriel de dimension 2. Ainsi, la
connaissance de deux solutions linéairement indépendantes de l'équation (4), fournit sa solution
générale sous la forme :
Y = c1y1 + c2y2
où c1 et c2 sont des nombres réels arbitraires. Une fois trouvée Y, la solution générale s'obtient en lui
ajoutant une solution particulière de (3).
La résolution de l'équation (3) réside donc dans :
-la recherche de la solution générale de (4);
-la recherche d'une solution particulière de (3);
On montre l'existence et l'unicité d'une solution y = f(t) définie sur I et vérifiant les conditions
initiales yo = f(to) et y'o = f'(to).
Euler a montré qu’on peut trouver la solution de l'équation homogène à coefficients constants, de la
forme :
ay" + by' + cy = 0 , t I a, b et c réels donnés, a non nul (5)
par la méthode de l'équation caractéristique. Pour cela, cherchons une solution de (5) sous la forme :
y = kert
où k et r sont des réels à déterminer. L'équation (5) devient : kert(ar2 + br + c) = 0
Si k = 0, alors y est la solution nulle. Sinon, r est solution de l'équation caractéristique du second
degré :
ar2 + br + c = 0 (6)
La solution de l’équation différentielle homogène dépend des racines de l’équation caractéristique
r1 et r2. Il y’a trois situations qui peuvent se présenter.
5
 Si   b2  4.a.c > 0, on a deux solutions réelles r1 et r2 et Yc1.er1 tc2.er2 t (combinaison
de deux solutions linéairement indépendantes).
 Si   b2  4.a.c = 0, on aune solution double r : procédons par la méthode de la variation
de la constante en cherchant y sous la forme k(x)erx et r = -b/2a. On obtient, en substituant
et en ordonnant :
k(ar2 + br + c) + ak" + k'(2ar + b) = 0
soit finalement : ak" = 0. Et comme a est non nul, on peut choisir k(x) = x. Ainsi
Y = erx(c1x + c2), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.
Si   b2  4.a.c < 0, les solutions sont complexes et conjuguées (puisque a, b et c sont
réels). Si on pose r1 = a + ib et r2 = a - ib.
Les solutions peuvent s'écrire formellement y1 k.er1 t et y2k.er2 t . C'est à dire
y1 = keat t eib = keat(cos b + i.sin b) et
y2 = keat t e-ib = keat(cos b - i.sin b).
les combinaisons (y1 + y2)/2 d'une part et -i(y1 - y2)/2 d'autre part, sont réelles et
indépendantes et valent respectivement keat.cos bt et keat.sin bt :
Y = eat(c1.cos bt + c2.sin bt), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.
Recherche d'une solution particulière de l'ED du second ordre
On doit tenir compte de la nature de la fonction du second membre et de la linéarité pour à trouver la
solution de l’équation différentielle du second ordre. On verra dans la suite de ce cours, que l’on
utilisera parfois des fonctions spéciales ou Distributions. Voici quelques règles à suivre pour trouver
la solution de l’EDO.
--Si d(t) est un polynôme de degré n, on cherche une solution du même type.
--Si d(t) est de la forme P(t)ent, on se ramène au cas ci-dessus en posant y = Q(t)ent.
--Si d(t) est de la forme a.sin nt, b.cos pt ou a.sin nt + b.cos pt, on cherche une solution sous cette
dernière forme.
--Si d(t) est de la forme ent.sin pt, on chechera la solution sous la forme y = ent(a.sin nt + b.cos nt)
Connaissant deux solutions linéairement indépendantes y1 et y2 de l’équation homogène, donc la
solution générale est : y = a.y1 + b.y2 , on peut utiliser la méthode de la variation des constantes en
posant y = a.y1 + b.y2 où a et b sont considérées cette fois comme des fonctions, ce qui conduit à un
système de deux équations différentielles du premier ordre en a' et b' en imposant la condition a'y'1
+ b'y'2 = 0. Cette méthode se généralise à une équation différentielle d'ordre quelconque.
Connaissant une solution particulière yo de l’équation complète, on peut se ramener à une équation
homogène du premier ordre en posant y = kyo et en considérant k comme variable, l'équation se
réduisant alors à :
a(t)yo.k" + [2a(t)y'o + b(t)yo].k' = 0
on se ramène au premier ordre en posant u = k'.
Exemple
Résoudre l’équation différentielle: y" + y' - 2y = sin t avec les conditions initiales y(0) = y'(0) =
0
6
Réponse : Cherchons d’abord l’ED sans second membre. Elle a pour équation caractéristique : r2
+r –2=0 et possède les solutions r = -2 et r = 1. Par suite la solution générale de l'équation sans
second membre est :
Y = c1.e-2t + c2.et
Il reste à trouver une solution particulière. La méthode de la variation de la constante peut être
appliquée mais connaissant la forme de la fonction du second membre, il est plus intéressant de
chercher une solution particulière de même forme que la fonction du second membre.
Cherchons une solution de la forme a.sin t + b.cos t : on a y' = a.cos t - b.sin t, puis y" = -a.sin t - b.cos
t. On reporte dans l'équation et on ordonne :
(a - 3b).cos t + (-3a - b).sin t = sin t
On obtient le système: a - 3b = 0 , -3a - b = 1 dont la solution est : a = -3/10; et b=-1/10.
La solution générale de l'équation est donc :
y = c1.e-2t + c2.et - (cos t + 3sin t)/10
Les conditions y(0) = y'(0) = 0 conduisent à : c1 + c2 = 1/10 , -2c1 + c2 = 3/10
D'où c1 = -1/15 et c2 = 1/6.
La solution générale est : y = -e-2x/15 + ex/6 - (cos x + 3sin x)/10
2.3-LINEARITE ET SUPERPOSITION
Les équations différentielles linéaires vérifient le principe de superposition et vice-versa. Pour une
EDL:
--si la fonction du second membre x1(t) produit la solution y1(t) et
--si la fonction du second membre x2(t) produit la solution y2 (t), alors
---la fonction du second membre composée de : c1 x1(t) +c2 x2(t) produit la solution composée :
c1 y1(t) +c2 y2 (t) pour tout couple x1(t), x2(t) et tout couple de constantes c1 et c2.
Cette propriété est celle de la linéarité et elle est équivalente a celle de superposition.
Principe de superposition : la solution y(t) d’un système linéaire produite par différentes fonctions
du second membre x1 (t), x2(t),….,xn(t) agissant simultanément, est égale à la somme des solutions
produites par chacun des fonctions agissant séparément. C’est-à-dire, si yi(t) est la solution produite
par la fonction xi(t), alors :


n
i
y t yi t
1
( ) ( )
3-SOLUTION GENERALE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES
Si on a l’équation différentielle linéaire de forme générale:
i
m i
i
i i
n i
i
i dt
b t d x
dt
a (t) d y ( )
0 0
 
 

On montre que la solution générale s’obtient par l’intégrale : 


y(t) h(y,r)x(r)dr
La fonction h(t,r) s’appelle la fonction poids et l’intégrale de la forme :



y(t) h(y,r)x(r)dr s’appelle intégrale de convolution.
7
3.1-RESOLUTION DES EQU. DIFF. ORDINAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Considérons la classe des équations différentielles linéaires à coefficients constants :
 
 

n
i
m
i
i
i
i i
i
i dt
b d x
dt
a d y
0 0
Ou t est la variable indépendante, les coefficients ai et bi sont des constantes, y = y(t) est la solution
inconnue de l’équation que nous cherchons à déterminer. Pour pouvoir préciser le problème
complètement, de manière à obtenir une solution unique y(t), on doit préciser l’intervalle de la
variable indépendante t ou on désire déterminer la solution et l’ensemble des n condition initiales
portant sur y(t) et ses (n-1) dérivées.
L’ensemble des conditions initiales est :
1 0
1
0
(0), ,...,
 

 n t
n
t dt
d y
dt
y dy
On appelle un tel problème un problème aux conditions initiales.
3-2 FORME DE LA SOLUTION D’UNE EQUATION DIFFERENTIELLE
La solution totale d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants peut s’exprimer
comme la somme de deux parties. La première partie correspond à la solution sans second membre et
la seconde partie correspond à la solution particulière avec second membre.
LA REPONSE LIBRE
La solution sans second membre est appelée réponse libre de l’équation différentielle. Elle est
obtenue pour x(t) =0. L’équation homogène correspondante devient:


n
i
i
i
i dt
a d y
0
0
La solution y(t) d’une telle équation ne dépend que des n conditions initiales. Elle s’appelle aussi la
réponse propre du système.
Exemple :
La solution de l’équation différentielle homogène du premier ordre : dt y0
dy avec la condition
initiale y(0) =y0, est y(t) =y0.e-t. . Elle constitue la réponse libre de l’équation différentielle donnée.
On peut toujours écrire la réponse libre d’une équation différentielle sous la forme d’une combinaison
linéaire d’éléments d’un système fondamental. C’est-à-dire, si y1(t), y2(t),…, yn(t) est un ensemble
fondamental, alors n’importe quelle réponse libre yl(t) de l’équation différentielle peut s’écrire sous la
forme :


n
i
yl t ci yi t
1
( ) ( )
les constantes ci sont déterminées à partir des conditions initiales.
Exemple
On cherche à déterminer la réponse libre yl(t) de l’équation différentielle : y x
dt
dy
dt
d y  3  2  2
2
Avec les conditions initiales : y(0)0 et 1
0

t dt
dy
.
En résolvant l’équation caractéristique de l’équation homogène, la réponse libre est :
8
yl t c e t c e 2t
( ) 1. 2.    
Ou c1 et c2 sont des coefficients inconnus et ou e-t, e-2t est un ensemble fondamental pour l’équation.
yl(t) doit vérifier les conditions initiales, d’ou :
yl(0)y(0)0c1c2 1 2
0
0
( ) dt 1 c 2c
dy
dt
dy t
t
t
l     

On obtient : c1 =1 et c2 = -1. La réponse libre est donc donnée par : yl(t) = e-t-e-2t.
LA REPONSE FORCEE
On appelle réponse forcée yf(t) d’une équation différentielle, la solution que l’on obtient quand
toutes les conditions initiales sont nulles. La réponse forcée ne dépend que de la fonction x(t). On
peut écrire la réponse forcée d’une équation différentielle linéaire ordinaire à coefficients constants
sous la forme d’une intégrale de convolution
 

 d d
d x
y t h b
m
i
i
i
i
t
f 




 0 0
( )
( ) (t- )
On appelle réponse totale d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants la somme de
la réponse libre et de la réponse forcée.
Exemple
La réponse totale y(t) de l’équation différentielle 3 2 1 2
2
  y 
dt
dy
dt
d y
avec les conditions initiales
y(0)=0 et 1 0  dt t
dy est la somme de la réponse libre yl(t) et de la réponse forcée yf(t). Ainsi
2(1 )
(1 2 ) 1 2
y(t)yl(t)yf (t)(ete2t)1  ete2t  e2t
LES REPONSES PERMANENTES ET TRANSITOIRES :
La solution générale ou réponse totale peut aussi s’exprimer comme la somme de deux autres termes :
la réponse en régime permanent et réponse en régime transitoire.
On appelle réponse de régime permanent la partie de la réponse totale qui ne tend pas vers zéro quand
le temps tend l’infini.
On appelle réponse de régime transitoire la ppartie de la réponse totale qui tend vers zéro quand le
temps tend l’infini.
Exemple :
La réponse totale de l’équation différentielle de l’exemple précédent est : y   et
2
1
2
1
La réponse permanente qui est donnée par la lim yP(t) pour t tendant vers l’infini. Elle vaut ½..
La réponse transitoire est t
T y   e
2
1
.

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