EXERCICE DE PROBABILITé

Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4 , 5 ou spectacles.
Dans la population des abonnés la répartition est la suivante:
• 43,5% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
• 33% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
• le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
D'autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la répartition est différente :
• 40% ont choisi l'abonnement 4 spectacles;
• 40% ont choisi l'abonnement 5 spectacles;
• le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
On interroge un abonné au hasard.
• On note A l'événement : " l'abonné interrogé a moins de 25 ans ".
Ainsi, la probabilité p(A) de cet événement est 0,65.
• On note B l'événement : " l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles ".
• Pour tout évenement V , on note l'événement contraire de V.

1. .
a. Quelle est la probabilté que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?
b. Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles?
c. Décrire l'événement A B et démontrer que la probabilité de cet événement est égale à 0,26.
2. .
a. Démontrer que la probabilité p( B) est égale à 0,07.
b. En déduire la probabilité conditionnelle de B sachant que est réalisé.
3. L'abonnement pour 4 spectacles coût 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70 euros.
On appelle X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé.
a. Donner la loi de probabilité de X en complétant le tableau suivant:
Xi 50 60 70
p(X = Xi)
4. Calculer l'espérance de X.
SOLUTION
1: Il faut commencer par traduire en langage des probabilités les hypothèses de l'énoncé.
A étant l'événement "moins de 25 ans" et
B l'événement "a choisi 5 spectacles", l'énoncé nous dit que:
• P( A ) = 0,65 car 65% des abonnés ont moins de 25 ans.
a:La probabilité qu'un abonné ait 25 ans ou plus est donc : (1 - 0,65) = 0,35
• P( B ) = 0,33 car 33% des abonnés ont choisi l'abonnement 5 spectacles.
• b: P( B / A) = 0,40 car 40% des abonnés de moins de 25 ans ont choisi l'abonnement 5 spectacles.
donc , comme P( A B ) = P( A / B).P(A), on en déduit que:
c: P( A B) = 0,40 . 0,65 = 0,26.
L'événement ( A B ) est l'événement " l'abonné a moins de 25 ans ET a choisi 5 spectacles ".
Exercice 2: Nouvelle-Calédonie Décembre 98 Bac ES
Au cours d'une kermesse, l'animateur d'un stand dispose, dans un enclos, de douze cages peintes:
sept sont blanches, deux noires et les trois autres vertes.
L'animateur place alors une souris dans l'enclos. On suppose qu'à chaque jeu, la souris choisit d'entrer au hasard dans une cage et que tous les choix sont équiprobables.
Un joueur participe au jeu. Le réglement du jeu est le suivant:
- Si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd;
- Si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne,
- Si la souris entre dans une cage verte, l'animateur remet la souris dans l'enclos;
si la souris entre alors dans une cage noire, le joueur gagne sinon il perd.
On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la première.
1. Montrez que la probabilité de l'événement " le joueur gagne " est : .
2. Un joueur possède 10 F qu'il verse pour participer à une partie. S'il gagne, il reçoit k francs; sinon, il ne reçoit rien.
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la partie.
a: Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b: Calculez, en fonction de k, l'espérance mathématique E[X] de la variable aléatoire X.
c: Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable?
(c'est à dire pour que ce joueur puisse espérer possèder 10 F à la fin de la partie)
SOLUTION
1. Le plus simple est de faire un schéma (un arbre) qui résume la situation du joueur:

L'hypothèse importante qui est faite dans l'énoncé est que le choix de la deuxième cage de la souris est indépendant du premier choix.
Dans ce cas, on sait que la probabilité de " A et B" , si A et B sont deux événements indépendants , est :
P( A et B ) = P(A).P(B).
Appelons N l'événement "la souris choisit la cage Noire" , B "elle choisit la cage Blanche" V "elle choisit la cage Verte" et G l'événement "Le joueur gagne"..
Donc on a :
• P("le joueur gagne") = P("la souris choisit la cage Noire" ou "la souris choisit la case Verte et la case Noire en deuxième choix")
=P( N ) + P( V et N)
= P( N ) + P( V ).P( N ).

2. Si le joueur verse 10 francs pour faire une partie et reçoit k francs s'il gagne, alors la variable aléatoire X correspondant à la somme que possède le joueur après la partie peut prendre les valeurs 0 ou k.

a: L'événement " X = 0" est l'événement " Le joueur à perdu" donc , on a :


b: L'espérance de X est alors :

c: La partie est équitable si l'espérance de X est égale à 10. On doit donc avoir :



•
2.
a: On sait que P ( B ) = P( A B ) + P( B ) . Comme P( A B ) = 0,26 , d'après la question précédente
et que P( B ) = 0,33 , d'après les hypothèses de l'énoncé, on en déduit que :
P( B ) = 0,33 - 0,26 = 0,07.
b: On sait que
,
donc :

3. D'après les hypothèses de l'énoncé, on sait que 43,5% ont choisi l'abonnement 4 spectacles.
Donc P ( X = 50 ) = 0,435.
De même, P( X = 60 ) = 0,33 et P( X = 70 ) = 1 - 0,435 - 0,33 = 0,235.
D'où le tableau de la loi de probabilité de X:
a:
Xi 50 60 70
P( X = Xi) 0,435 0,33 0,235
b:L'espérance E[X] de X est définie par :

Donc, E[X] = 0,435 . 50 + 0,33 . 60 + 0,235 . 70 = 58 .
Exercice 3: Polynésie Septembre 98 Bac ES
Un patineur participe à une compétition. Deux de ses saut l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10; sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le deuxième dans 90% des cas.
On notera l'événement contraire d'un événement A.
Soit R1 l'événement : "le patineur réussit le premier saut ".
Soit R2 l'événement : "le patineur réussit le deuxième saut".
1.
a: Calculez la probabilité de l'événement R2.
b: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 est réalisé.
c: Calculez la probabilité de l'événement R2 sachant que R1 n'est pas réalisé.
2. Déterminez la probabilité de l'événement : "le patineur réussit les deux sauts".
3.
a: Calculez la probabilité de l'événement R2.
b: Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut.
Calculez la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut.
4. Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2 point.
Le réglement prévoit que les pénalités s'ajoutent.
Soit X la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur
lors de la compétition.
a: Déterminez la loi de probabilité de X.
b: Calculez l'espérance mathématique de X.
SOLUTION
1.
a: D'après l'énoncé, la probabilité que le patineur réalise le premier saut est 0,95.
P(R1) = 0,95
b: Si il réalise le premier saut alors il réalise le deuxième saut dans 90% des cas. Donc:
P(R2 / R1) = 0,90.
c: On sait que . Donc :

2. L'événement "le patineur réussit les deux sauts " est " R1 R2 ".
Or, P( R1 R2 ) = P( R2 / R1).P(R1). Donc P( R1 R2 ) = 0,90 . 0,95 = 0,855.
3.
a: D'après la loi des probabilités totales, on a:

D'où P( R2) = 0,70 . 0,05 + 0,90 . 0,95 = 0,89.
b: La question revient à déterminer P( R1 / R2). Or

4.
a: X peut prendre les valeurs : 0 , 0,1 , 0,2 ou 0,3
Or :




On peut résumer ces résulats dans un tableau :

x 0 0,1 0,2 0,3
P( X = x) 0,855 0,035 0,095 0,015
On vérifie alors que l'on a bien  P( X = x) = 1.
b: L'espérance de X est alors :
E[X] =  P(X=x).x = 0,027 après calcul.
Le patineur peut donc "espérer" perdre 0,027 point durant la compétition.

Quelle interprétation peut-on en faire?